Introduzione

Nelle simulazioni di fluidodinamica computazionale (CFD), il dimensionamento della mesh è cruciale per ottenere convergenza e risultati affidabili. Le mesh per CFD richiedono una risoluzione adeguata principalmente vicino ai muri (wall-condition) per catturare accuratamente gli effetti dello strato limite. In OpenFOAM, come in molti altri software, uno degli approcci per dimensionare la mesh vicino alle pareti solide si basa sul concetto di Y+. Questo tutorial spiegherà come utilizzare Y+ per dimensionare correttamente la mesh in una simulazione CFD bilanciando tempi di calcolo e affidabilità.

 

Cos'è Y+?

Y+ è un parametro adimensionale che rappresenta la distanza dalla parete alla prima cella della mesh, in unità di lunghezze di scala dello strato limite viscoso. Prima di generare la mesh è quindi necessario un'idea preliminare della dimensione delle celle vicino alle pareti basata sull'Y+ che vogliamo ottenere per le condizioni al contorno che andremo a impostare. Valori tipici di Y+ per diversi modelli di turbolenza sono:

• Per modelli con trattamento integrale dello strato limite (ad es. k-omega SST): Y+ ~ 1.
• Per modelli che usano funzioni di parete (ad es. k-epsilon standard): Y+ compreso tra 30 e 300.

Y+ è definito come:

$y^{+}=\frac{u_{\tau }y}{\nu }$

dove:

• $u_{\tau }$ = velocità di attrito (m/s), calcolabile da $u_{\tau }=\sqrt{\frac{{\tau }_w}{\rho }}$​

• ${\tau }_w$ = sforzo di parete (Pa)
• $y$ = distanza normale dalla parete alla prima cella della mesh (m)
• $\nu$ = viscosità cinematica del fluido (m²/s), $\nu =\frac{\mu }{\rho }$

Per calcolare $y^{+}$, è spesso necessario stimare $u_{\tau }$ che dipende dallo sforzo di parete ${\tau }_w$.

Esempio: Se hai un flusso d'aria (densità $\rho =1.225$ kg/m³, viscosità $\mu =1.81\times 10^{-5}$ Pa·s) con uno sforzo di parete ${\tau }_w=0.5$ Pa  e vuoi un valore di $y^{+}=30$, la distanza $y$ dalla parete alla prima cella della mesh sarà:

$u_{\tau }=\sqrt{\frac{0.5}{1.225}}\approx 0.64\text{ m/s}$

​$\nu =\frac{1.81\times 10^{-5}}{1.225}\approx 1.48\times 10^{-5}\text{ m²/s}$

$y=\frac{30\times 1.48\times 10^{-5}}{0.64}\approx 6.94\times 10^{-4}\text{ m}$

Quindi, la distanza dalla parete alla prima cella della mesh dovrebbe essere di circa 0.694 mm per raggiungere un $y^{+}$ di 30.

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Approssimare la velocità di attrito dalla velocità media del flusso.

Per calcolare Y+ utilizzando la velocità del fluido, è possibile adottare un approccio leggermente diverso. Y+ è definito in termini di velocità di attrito ($u_{\tau }$), ma $u_{\tau }$ può essere strettamente correlato alla velocità media del flusso in alcune situazioni, specialmente in flussi turbolenti completamente sviluppati lungo superfici piane. Tuttavia, si deve tenere presente che questa correlazione può non essere precisa in tutti i casi, specialmente in geometrie complesse o in flussi non turbolenti.

La formula per Y+ rimane la stessa:

$y^{+}=\frac{u_{\tau }y}{\nu }$

Per collegare la velocità di attrito alla velocità del fluido, si può utilizzare una relazione empirica o teorica basata sullo specifico caso di flusso. Ad esempio, in un canale o in un flusso turbolento lungo una piastra piana, la velocità di attrito può essere stimata come una frazione della velocità del flusso basata sul numero di Reynolds.

Una relazione approssimativa in tali casi è:

$u_{\tau }\approx \frac{U}{\sqrt{Re}}$

​Dove:

• $U$ = velocità media del flusso
• $Re$ = numero di Reynolds basato sulla lunghezza caratteristica

Questa è una stima molto approssimativa e dovrebbe essere usata con cautela. Per calcoli più accurati, è consigliato utilizzare i risultati di simulazioni precedenti o dati sperimentali per ottenere una stima più precisa di $u_{\tau }$.

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Calcolo del numero di Reynolds

Il numero di Reynolds è un parametro non dimensionale utilizzato nella meccanica dei fluidi per prevedere i pattern di flusso in diversi tipi di problemi fluidodinamici. È definito come:

$\text{Re}=\frac{\rho UL}{\mu }$

dove:

• $\rho$ = densità del fluido (kg/m³)
• $U$ = velocità caratteristica del flusso (m/s)
• $L$ = lunghezza caratteristica (m), ad esempio il diametro di un tubo o la lunghezza di un'ala
• $\mu$ = viscosità dinamica del fluido (Pa·s)

Esempio: Se hai un flusso d'aria (densità $\rho =1.225$ kg/m³, viscosità $\mu =1.81\times 10^{-5}$ Pa·s) sopra un'ala con una lunghezza caratteristica di 1 m e una velocità del flusso di 30 m/s, il numero di Reynolds sarà:

$\text{Re}=\frac{1.225\times 30\times 1}{1.81\times 10^{-5}}\approx 2.03\times 10^6$

 

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Esempio Conclusivo

Supponiamo di voler avere un valore di Y+ = 30 in un flusso d'aria con le seguenti proprietà:

• Velocità media del flusso, $U=15$ m/s.
• Viscosità cinematica dell'aria, $\nu =1.5\times 10^{-5}$ m²/s.
• Numero di Reynolds basato su una lunghezza caratteristica, $Re=10^6$.

Prima calcoliamo $u_{\tau }$:

$u_{\tau }\approx \frac{15}{\sqrt{10^6}}=0.015\text{ m/s}$

Ora usiamo la formula rielaborata di Y+ per trovare $y$:

$y=\frac{30\times 1.5\times 10^{-5}}{0.015}=3\times 10^{-5}\text{ m}=0.03\text{ mm}$

Quindi, per ottenere un valore di Y+ di 30, la distanza dalla parete alla prima cella della mesh dovrebbe essere circa 0.03 mm.

Ricorda che questi calcoli sono basati su stime e approssimazioni. La precisione può variare a seconda della complessità del flusso e della geometria specifica del caso in esame. In una simulazione CFD reale, potrebbero essere necessarie ulteriori iterazioni per ottimizzare la dimensione della mesh e raggiungere il valore desiderato di Y+.

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 Suggerimenti

Ora che hai capito la teoria alla base del dimensionamento della mesh per una simulazione di openFOAM ti suggerisco di utilizzare il pratico calcolatore automatico sviluppato da CFDFEASERVICE per l'utilizzo con snappyHexMesh di openFOAM.