La performance di un go-kart dipende da una serie di fattori che insieme determinano la velocità, la maneggevolezza e la sicurezza del veicolo. Componenti come il motore, i freni e le gomme giocano un ruolo cruciale, ma uno degli elementi spesso sottovalutati è la rigidezza del telaio.

Questa caratteristica è altrettanto fondamentale perché influisce direttamente sulla stabilità e sulla risposta del veicolo durante la guida. La rigidezza del telaio, se adeguatamente progettata, può fare la differenza tra una performance mediocre e una prestazione da campione. Un telaio rigido permette di mantenere una geometria costante del go-kart, assicurando che le ruote restino allineate correttamente durante la guida.

 Photo: TB kart - IRK Promotion

Questo allineamento preciso è cruciale per evitare comportamenti imprevedibili del veicolo e per garantire che la forza motrice sia trasferita efficacemente dalla potenza del motore alle ruote. Inoltre, una maggiore rigidezza del telaio consente una migliore risposta ai comandi del pilota, rendendo il go-kart più reattivo nelle curve e durante le manovre ad alta velocità.

Per valutare la rigidezza del telaio, uno dei test più significativi è quello della rigidezza torsionale. Questo test misura quanto il telaio si deforma sotto carichi torsionali, simulando le sollecitazioni che il go-kart subisce nelle curve strette e durante le accelerazioni e frenate brusche. Il test inizia con il montaggio del telaio su una piattaforma di prova rigida, utilizzando supporti che permettono di applicare il carico torsionale in modo controllato. Il telaio è fissato saldamente in corrispondenza dei punti di montaggio principali e vengono installati sensori di deformazione in punti strategici per misurare le deformazioni risultanti.

Il carico torsionale viene applicato solitamente alle estremità del telaio, utilizzando bracci di leva collegati a pesi o dispositivi idraulici per un controllo preciso del momento torsionale. Il carico viene incrementato gradualmente, permettendo di osservare il comportamento del telaio sotto differenti livelli di stress. I sensori registrano le deformazioni e gli spostamenti del telaio in risposta al carico applicato, e questi dati vengono raccolti in tempo reale per individuare eventuali punti di cedimento o deformazione eccessiva.

Attraverso le analisi FEM è possibile impostare lo stesso tipo di test in modo virtuale, bloccando le sedi degli assali posteriore e applicando uno spostamento imposto sull'asse verticale (Y) alla ruota anteriore, generando così la torsione del telaio.

La rigidezza torsionale viene calcolata confrontando il momento torsionale applicato con l'angolo di torsione risultante, fornendo una misura diretta della rigidezza del telaio. I dati raccolti vengono analizzati per identificare le aree del telaio che mostrano eccessiva flessione o deformazione, utilizzati poi per ottimizzare il design del telaio. Di seguito, nell'esempio illustrato, i valori di tensione calcolati nel telaio per lo spostamento imposto.

 Le analisi FEM permettono di simulare le sollecitazioni che il telaio subisce in diverse condizioni operative sia statiche sia dinamiche, identificando le aree critiche che potrebbero necessitare di rinforzi o modifiche progettuali. Questo tipo di analisi consente di ottimizzare il design del telaio, bilanciando rigidezza e peso, per ottenere il massimo delle prestazioni senza compromettere l'affidabilità.

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I materiali iperelastici, noti anche comunemente con il nome di materiali elastomerici, sono materiali capaci di subire grandi deformazioni reversibili (quindi elastiche) senza subire danni permanenti o deformazioni plastiche. Proprio per l'elevata deformazione in campo elastico vengono definiti IPER elastici. I metodi di modellazione a materiale iperleastico sono comunemente utilizzati nelle analisi FEM quando è necessario modellare materiali come gomme e tessuti biologici.

"Perchè utilizzare un modello iperleastico? Non è possibile utilizzare la comune equazione di Hooke?"

L'equazione dell'elasticità dei materiali classici, secondo Hooke, prevede una relazione lineare tra sforzo e deformazione data dal modulo elastico E considerato come una costante.

σ= E∙ ε

Al contrario la caratteristica distintiva dei materiali iperelastici è una relazione non lineare tra sforzo e deformazione, descritta attraverso funzioni di energia di deformazione, pur restando all'interno di deformazioni reversibili, quindi "elastiche"

I modelli più utilizzati per descrivere il comportamento iperelastico sono i modelli di Neo-Hookean, Mooney-Rivlin e Ogden, i quali definiscono il comportamento meccanico dei materiali attraverso parametri specifici diversi dal modulo elastico. Le applicazioni dei modelli iperelastici alle analisi FEM permettono di simulare accuratamente il comportamento meccanico sotto carichi semplici o complessi e sono essenziali in settori come l'ingegneria biomedica, l'architettura e l'industria automobilistica.

I modelli iperelastici differiscono tra di loro principalmente nella complessità e nella capacità di descrivere il comportamento non lineare dei materiali elastomerici. A maggiore capacità di modellazione della risposta del materiale normalmente corrisponde una maggiore complessità del modello con maggiori parametri costitutivi. Di seguito i più diffusi:

Neo-Hookean

• Descrizione: È il modello più semplice, utilizzando un solo parametro di elasticità.
• Applicazioni: Adeguato per piccole deformazioni.
• Equazione: La funzione di energia di deformazione dipende solo dal primo invariante di deformazione $I_1$.

Mooney-Rivlin

• Descrizione: Estende il modello Neo-Hookean includendo due parametri, $C_{10}$ e $C_{01}$.
• Applicazioni: Migliore per descrivere grandi deformazioni.
• Equazione: La funzione di energia dipende sia dal primo che dal secondo invariante di deformazione $I_1$ e $I_2$.

Ogden

• Descrizione: Un modello molto complesso che utilizza più termini e parametri per descrivere il comportamento del materiale.
• Applicazioni: Altamente preciso per materiali con comportamento non lineare complesso e grandi deformazioni.
• Equazione: La funzione di energia dipende dai principali allungamenti invarianti, rendendolo molto versatile.

L'immagine sottostante mostra una curva di sforzo-deformazione per un materiale iperelastico. La curva rappresenta la relazione non lineare tra il sforzo applicato e la deformazione risultante nel materiale. Le curve iniziano a un valore basso di deformazione e sforzo e aumenta in modo non lineare, indicando che, a differenza dei materiali elastici lineari, i materiali iperelastici non seguono una proporzionalità diretta tra sforzo e deformazione. La pendenza della curva varia lungo il grafico, mostrando come il materiale iperelastico possa sostenere grandi deformazioni con un aumento graduale dello sforzo, riflettendo la sua capacità di allungarsi notevolmente prima di raggiungere il punto di rottura o di danneggiamento permanente.

"Hyperelastic Material Stress-Strain Curve" by Clancy214 is licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons - Link.

Inoltre, l'immagine illustra come la forma della non linearità cambi in base al modello iperelastico utilizzato, evidenziando le diverse caratteristiche meccaniche che possono essere descritte con differenti funzioni di energia di deformazione, come i modelli di Neo-Hookean, Mooney-Rivlin e Ogden.

Riassumendo, i vari modelli possono essere così descritti:

• Neo-Hookean: Semplice, un parametro, per piccole deformazioni.
• Mooney-Rivlin: Due parametri, migliore per grandi deformazioni.
• Oden: Molto complesso, altamente accurato per ampie deformazioni e comportamenti non lineari.

Introduzione

Nelle simulazioni di fluidodinamica computazionale (CFD), il dimensionamento della mesh è cruciale per ottenere convergenza e risultati affidabili. Le mesh per CFD richiedono una risoluzione adeguata principalmente vicino ai muri (wall-condition) per catturare accuratamente gli effetti dello strato limite. In OpenFOAM, come in molti altri software, uno degli approcci per dimensionare la mesh vicino alle pareti solide si basa sul concetto di Y+. Questo tutorial spiegherà come utilizzare Y+ per dimensionare correttamente la mesh in una simulazione CFD bilanciando tempi di calcolo e affidabilità.

Cos'è Y+?

Y+ è un parametro adimensionale che rappresenta la distanza dalla parete alla prima cella della mesh, in unità di lunghezze di scala dello strato limite viscoso. Prima di generare la mesh è quindi necessario un'idea preliminare della dimensione delle celle vicino alle pareti basata sull'Y+ che vogliamo ottenere per le condizioni al contorno che andremo a impostare. Valori tipici di Y+ per diversi modelli di turbolenza sono:

• Per modelli con trattamento integrale dello strato limite (ad es. k-omega SST): Y+ ~ 1.
• Per modelli che usano funzioni di parete (ad es. k-epsilon standard): Y+ compreso tra 30 e 300.

Y+ è definito come:

$y^{+}=\frac{u_{\tau }y}{\nu }$

dove:

• $u_{\tau }$ = velocità di attrito (m/s), calcolabile da $u_{\tau }=\sqrt{\frac{{\tau }_w}{\rho }}$​

• ${\tau }_w$ = sforzo di parete (Pa)
• $y$ = distanza normale dalla parete alla prima cella della mesh (m)
• $\nu$ = viscosità cinematica del fluido (m²/s), $\nu =\frac{\mu }{\rho }$

Per calcolare $y^{+}$, è spesso necessario stimare $u_{\tau }$ che dipende dallo sforzo di parete ${\tau }_w$.

Esempio: Se hai un flusso d'aria (densità $\rho =1.225$ kg/m³, viscosità $\mu =1.81\times 10^{-5}$ Pa·s) con uno sforzo di parete ${\tau }_w=0.5$ Pa  e vuoi un valore di $y^{+}=30$, la distanza $y$ dalla parete alla prima cella della mesh sarà:

$u_{\tau }=\sqrt{\frac{0.5}{1.225}}\approx 0.64\text{ m/s}$

​$\nu =\frac{1.81\times 10^{-5}}{1.225}\approx 1.48\times 10^{-5}\text{ m²/s}$

$y=\frac{30\times 1.48\times 10^{-5}}{0.64}\approx 6.94\times 10^{-4}\text{ m}$

Quindi, la distanza dalla parete alla prima cella della mesh dovrebbe essere di circa 0.694 mm per raggiungere un $y^{+}$ di 30.

Approssimare la velocità di attrito dalla velocità media del flusso.

Per calcolare Y+ utilizzando la velocità del fluido, è possibile adottare un approccio leggermente diverso. Y+ è definito in termini di velocità di attrito ($u_{\tau }$), ma $u_{\tau }$ può essere strettamente correlato alla velocità media del flusso in alcune situazioni, specialmente in flussi turbolenti completamente sviluppati lungo superfici piane. Tuttavia, si deve tenere presente che questa correlazione può non essere precisa in tutti i casi, specialmente in geometrie complesse o in flussi non turbolenti.

La formula per Y+ rimane la stessa:

$y^{+}=\frac{u_{\tau }y}{\nu }$

Per collegare la velocità di attrito alla velocità del fluido, si può utilizzare una relazione empirica o teorica basata sullo specifico caso di flusso. Ad esempio, in un canale o in un flusso turbolento lungo una piastra piana, la velocità di attrito può essere stimata come una frazione della velocità del flusso basata sul numero di Reynolds.

Una relazione approssimativa in tali casi è:

$u_{\tau }\approx \frac{U}{\sqrt{Re}}$

​Dove:

• $U$ = velocità media del flusso
• $Re$ = numero di Reynolds basato sulla lunghezza caratteristica

Questa è una stima molto approssimativa e dovrebbe essere usata con cautela. Per calcoli più accurati, è consigliato utilizzare i risultati di simulazioni precedenti o dati sperimentali per ottenere una stima più precisa di $u_{\tau }$.

Calcolo del numero di Reynolds

Il numero di Reynolds è un parametro non dimensionale utilizzato nella meccanica dei fluidi per prevedere i pattern di flusso in diversi tipi di problemi fluidodinamici. È definito come:

$\text{Re}=\frac{\rho UL}{\mu }$

dove:

• $\rho$ = densità del fluido (kg/m³)
• $U$ = velocità caratteristica del flusso (m/s)
• $L$ = lunghezza caratteristica (m), ad esempio il diametro di un tubo o la lunghezza di un'ala
• $\mu$ = viscosità dinamica del fluido (Pa·s)

Esempio: Se hai un flusso d'aria (densità $\rho =1.225$ kg/m³, viscosità $\mu =1.81\times 10^{-5}$ Pa·s) sopra un'ala con una lunghezza caratteristica di 1 m e una velocità del flusso di 30 m/s, il numero di Reynolds sarà:

$\text{Re}=\frac{1.225\times 30\times 1}{1.81\times 10^{-5}}\approx 2.03\times 10^6$

Esempio Conclusivo

Supponiamo di voler avere un valore di Y+ = 30 in un flusso d'aria con le seguenti proprietà:

• Velocità media del flusso, $U=15$ m/s.
• Viscosità cinematica dell'aria, $\nu =1.5\times 10^{-5}$ m²/s.
• Numero di Reynolds basato su una lunghezza caratteristica, $Re=10^6$.

Prima calcoliamo $u_{\tau }$:

$u_{\tau }\approx \frac{15}{\sqrt{10^6}}=0.015\text{ m/s}$

Ora usiamo la formula rielaborata di Y+ per trovare $y$:

$y=\frac{30\times 1.5\times 10^{-5}}{0.015}=3\times 10^{-5}\text{ m}=0.03\text{ mm}$

Quindi, per ottenere un valore di Y+ di 30, la distanza dalla parete alla prima cella della mesh dovrebbe essere circa 0.03 mm.

Ricorda che questi calcoli sono basati su stime e approssimazioni. La precisione può variare a seconda della complessità del flusso e della geometria specifica del caso in esame. In una simulazione CFD reale, potrebbero essere necessarie ulteriori iterazioni per ottimizzare la dimensione della mesh e raggiungere il valore desiderato di Y+.

 Suggerimenti

Ora che hai capito la teoria alla base del dimensionamento della mesh per una simulazione di openFOAM ti suggerisco di utilizzare il pratico calcolatore automatico sviluppato da CFDFEASERVICE per l'utilizzo con snappyHexMesh di openFOAM.